СЕМИНАР „АЛГЕБРА И ЛОГИКА”

Следващото заседание на семинара ще се проведе на 30 юни 2017 г. (петък) от 13:00 часа в зала 578 на ИМИ – БАН.

Доклад на тема:

ОБОБЩЕНИЕ НА ко-ХОПФОВИ АБЕЛЕВИ ГРУПИ

ще изнесе докторант Петър ДАНЧЕВ.

Поканват се всички желаещи.

Резюме. 

Ще считаме, че всички групи са абелеви.

Дефиниция: Групата G се нарича ко-Хопфова, ако всеки неин мономорфизъм (инективен хомоморфизъм) е автоморфизъм.

Теорема: Групата G е ко-Хопфова тогава и само тогава, когато тя не е изоморфна на нито една от своите собствени подгрупи.

Примери:  (1) Крайните групи;

                     (2) Квази-цикличната p-група на Прюфер за произволно просто р.

В сила е следната нова концепция:

Дефиниция: Групата G се нарича L-ко-Хопфова, ако всеки неин мономорфизъм е ляво обратим, т.е. за всеки мономорфизъм f на G, съществува ендоморфизъм ф на G със свойството фf = 1.

Това понятие не притежава лява-дясна симетричност. Отбелязваме, че ако fф = 1, то R-ко-Хопфова група е точно ко-Хопфова група.

Примери: (3) Всяка делима група е L-ко-Хопфова;

                    (4) Директни суми на циклични групи от един и същи ред p^n, където n е естествено число са L-ко-Хопфови.

Получени са следните основни теореми (в ZFC):

T1. (Критерий). Групата G е L-ко-Хопфова тогава и само тогава, когато за всяка подгрупа H на G, изоморфизмът между H и G имплицира, че H е директно събираемо на G. В частност всяка неразложима L-ко-Хопфова група е ко-Хопфова.

T2. Ако пръстенът от ендоморфизми E(G) на групата  G e абелев (наречен още нормален в руската научна терминология), то G е L-ко-Хопфова тогава и само тогава, когато G е ко-Хопфова.

T3. Директно събираемо на L-ко-Хопфова група е също L-ко-Хопфова. Обратно, ако A = Boplus C, където B е L-ко-Хопфова подгрупа, а C e ко-Хопфова подгрупа и напълно инвариантна в A, то A е L-ко-Хопфова група.

T4. (Теорема за Представяне). Всяка неограничена редуцирана L-ко-Хопфова p-група G може да се представи във вида: G = X oplus Y, където X e директна сума на циклични p-групи от един и същи ред p^n, n - естествено число, и Y е ко-Хопфова група с крайни инварианти на Улм-Каплански, като f_0 (Y) = ... = f_{n-1} (Y) = 0. В частност, |Y| leq 2^{aleph_0}, а редовете на всички циклични директни събираеми на Y са > p^n.

В допълнение, за всяко просто число p съществува L-ко-Хопфова p-група, която не е ко-Хопфова.

Резултатите са публикувани съвместно с А. Р. Чехлов в Internat. J. Algebra Computat. (4) 27 (2017).